読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

魔法の教室

現役塾講師が教えます。”はてな”の置き場”なるほど”売り場

【第五回】樹形図を使わずに解く【確率講座】

確率講座

 

今までは樹形図や表を描いて問題を解いてきましたが、今回はそれらを用いないで解いてみましょう。

 

まずは二枚のコインについて考えてみましょう。

二枚のコインを投げた時の組み合わせは、

(表、表),(表、裏),(裏、表),(裏、裏)の4パターンでした。

このような正方形で考えてみましょう。この正方形全体の面積を1だとします。4つの正方形はそれぞれ一片の長さが1/2の正方形です。

では、このオレンジ色になった部分の面積はいくらでしょう?

 

答えは1/2×1/2=1/4ですね。

ちなみに、コインを一回投げて表面が出る確率は1/2です。

 

次にさいころを2回振る時について考えましょう。

一回目と二回目のさいころの目の組み合わせは36通りでした。

ではこの大きい正方形の面積を1、小さい正方形の一片を1/6とします。

このオレンジ色の正方形の面積は、

1/6×1/6=1/36でした。

ちなみにさいころを一回振って1の目が出る確率は1/6です。

 

ではこのオレンジの長方形の面積はいくらでしょう。

2/6×4/6=2/9です。

ちなみにさいころを一回振って2以下の目が出る確率は2/6、

さいころを一回振って4以下の目が出る確率は4/6、

そして、さいころを二回振って、一回目は2以下の目、二回目は4以下の目がでる確率は2/9です。

 

勘のいい読者ならもうお判りでしょう。

実は確率は、長方形の面積のように掛け算で求めることもできるのです!

 

それはなぜでしょうか。確率講座の一番最初に言ったように、確率とは

全体の中で一部分が占める割合

でした。

つまり、全体の事象を長方形にし、そのなかに一つ一つの事象を同じ長方形で埋めていけば、先ほどのように面積と同じようにして求めることができるのです。

 

さて、ここでコインの話に戻りましょう。

コインを二回投げて、二回とも表が出る確率は、

一回目が表が出て、さらに二回目も表が出る確率です。

まず全体の事象があります。このうち、一回目に表が出る確率は、1/2です。

さらに二回目で表が出る確率は1/2です。面積で言えば上のオレンジの部分のさらに半分です。

赤い部分の面積は

(コインの表がでる確率)×(コインの表が出る確率)

=1/2×1/2

=1/4です。

 

 

つぎにさいころを二回振って、一回目は2以下の目、二回目は4以下の目がでる確率を求めます。

まず全体の事象があります。

さいころを振って2の目以下がでる確率は、4/6です。

 

さらに、さいころを振って2の目以下が出る確率は2/6です。

 

 

赤い部分の面積は、

(さいころを振って4の目以下が出る確率)×(さいころを振って2の目以下が出る確率)

=4/6×2/6

=2/9です。

 

 

確率が掛け算で求められることがわかりましたか?

確率とは全体の中で一部分が占める割合でした。

このような掛け算による確率の計算は、

全体の中で一回目の条件を満たす部分を見つける(一回目の試行)

さらにその部分の中で二回目の条件を満たす部分を見つける(二回目の試行)

という考え方になっています。

 

この時注意しなければならないのは、2回目の試行としてかける確率は一回目の試行が終わったあとの確率でなければなりません。

意味が分からないと思いますので、とりあえずくじの問題について考えましょう。

 

あたりが2本、はずれが3本のくじを、引いたくじを戻さないで2回引く。この時、

二回連続であたりを引く確率を求めよ

 

まずは一回目の試行。

5本あって2本が当たりなので、あたりを引く確率は2/5

 

次に二回目の試行。

一回目の試行が終わった段階で、あたりが1本、はずれが3本になっているので、あたりを引く確率は1/4

 

よって求める確率は2/5×1/4=1/10

 

二回目の試行の確率を求める際に、一回目の条件を満たした後の確率について計算してるのがわかりますか?

 

一回目であたりを引いたので、あたりは1本はずれは3本です。その中からあたりを引く確率なので1/4です。

 

2回目の試行としてかける確率は一回目の試行が終わったあとの確率というのはこういうことです。

 

もう少しやってみましょう。

 

あたりが2本、はずれが3本のくじを、引いたくじを戻さないで2回引く。この時、

二回連続ではずれを引く確率を求めよ

 

一回目は3/5ではずれを引く。

二回目は、あたり2本、はずれが2本になってるので2/4ではずれを引く。

よって3/5×2/4=3/10

 

あたりが2本、はずれが3本のくじを、引いたくじを戻さないで2回引く。この時、

一回目ははずれ、二回目はあたりを引く確率を求めよ

 

一回目は3/5ではずれを引く。

二回目は、あたり2本、はずれが2本になってるので2/4であたりを引く。

よって3/5×2/4=3/10

 

あたりが2本、はずれが3本のくじを、引いたくじを戻さないで2回引く。この時、

一回目はあたり、二回目ははずれを引く確率を求めよ

 

一回目は2/5であたりを引く。

二回目は、あたり1本、はずれ3本になってるので3/4ではずれを引く。

よって2/5×3/4=3/10

 

二回目の確率は一回目の試行が終わった後の確率というのが理解できましたか?

 

 

 

ぜひ樹形図などを描く方法と、掛け算のみでやる方法両方で解けるようになってください。