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魔法の教室

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【第六回】順列と組み合わせについて【確率講座】

今回は順列と組み合わせについてです。

本来ならば確率を学ぶ前にやるべきかもしれませんが、あえてここに持ってきました。

 

 

さて、順列とは何かについて説明します。

 

まず、A君B君C君が横一列の椅子に座るとき、座り方は全部で何通りありますか?

 

答えは、以下の6通りです。

計算の仕方は、左端に来るのはAかBかCの3通り

その次は、左端に座った人以外の二人なので2通り

残りは一人しかいないので右端は1通り

よって3×2×1=6通りです。

 

A,B,C,Dの4人だったらどうでしょうか。

考え方は一緒です。

左端は4通り、次は3通り、次は2通り、次は1通りです。

 

5人だったら?6人だったら?7人だったら?・・・・

 

この考え方をしていけば、n人が横一列の椅子に座るときの並び方は

n×(n-1)×・・・×1=n!通りです。

*n!というのは、nから1までのすべての積です。 例 5!=5×4×3×2×1

 

 

では次にA,B,C,D,Eの5人から、3人を選んで席に座らせるのは何通りありますか?

 

左端は5通り、その次は4通り、その次は3通りなので

5×4×3=60通りです。

 

ここで、n人の中からr人選んで並ばせるのは

n×(n-1)×(n-2)・・・(n-r+1)通りとなります。

この式の表し方はnPrです。

nPr=n×(n-1)×(n-2)・・・(n-r+1)

例えば5P3=5×4×3=60

6P4=6×5×4×3=360などです。

*本当はnPrのnとrは小さく書きます。

 

さて、このnPrというのが順列です。

これを使えば、横一列に並ぶ場合の事象の数などがすぐに求められます。

n=全体で何人いるのか

r=その中から何人並ばせるのか

を上の式に代入するだけです。もちろん人じゃなくても横一列に並べる問題なら使用できます。

 

 

さて、ところで、今はA,B,C,D,Eの5人の中から3人選んで並ばせていました。

では、並ばなくてもいいからとりあえず5人の中から3人選びたいというときはどうすればいいでしょうか。

 

5P3=60ですから、5人の中から3人並ばせるのは60通りだとわかっています。

例えば、AとBとCの3人が並んでるとしましょう。

この3人の並び方は冒頭で出てきた3×2×1の6通りです。

では、B,C,Dだとか、A,C,Eなどの時の並び方は何通りでしょうか。

そうです、3×2×1の6通りです。

つまり、1つの3人組に対して6通りの並び方があるということです。

 

ここで、

(5人から3人選ぶ選び方の数)×(3人の並び方の数)=5人の中から3人選んで並ばせる数

がなりたちますね?

 

よって、

(5人から3人選ぶ選び方の数)=(5人の中から3人選んで並ばせる数)÷(3人の並び方の数)

となります。

つまり、5人から3人選ぶ選び方の数は、5P3÷3!となります。

 

これをn人の中からr人を選ぶ選び方にすると、

nPr÷r!

となります。

 

これを組み合わせといい、

nCrと表します。

nCr=nPr÷r!

 

例えば、6C2=6P2÷2!=30÷2=15のように計算してください。

 

これを使えば、n人の中からr人選ぶときの組み合わせの数がすぐに計算できます。

よく使われる問題としては、〇個のボールが入った袋の中から▽個ボールを取り出す

などがあります。

 

 

今回やったnPrとnCpは少し難しいように見えますが、理解してしまえば簡単かつ便利なのでぜひ理解できるまで頑張ってください。