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【第八回】条件付き確率【確率講座】

さて今回は条件付き確率についてやっていきましょう。

 

何かとややこしそうな式が出てきますが基本的な確率の概念さえ理解していれば何てことありません。

 

 

まず、条件付き確率とは何かについて説明します。

 

事象Aが起こったことが分かったうえで事象Bが起こった確率

 

を条件付き確率といいます。

 

記号は、

P(B|A)

と表します。

 

定義的な式はほかの教科書などに任せるとして、まずはどんなイメージなのか具体例で説明しましょう。

 

まずはこの問題を考えてみてください。

 

一つのさいころを振った時、4の目が出る確率を求めよ

 

答えは簡単ですね、1/4です。これは条件付き確率でも何でもないただの問題です。

 

では、次の問題です。

 

1つのさいころを振り、偶数が出たという。この時、出た目が4であった確率を求めよ

 

今までの問題と比べると少し違和感がありませんか?

 

いったい何が違うのか考えてみましょう。

 

まず、確率は全体の事象のうち条件を満たす事象でしたので、

 

この問題で全体の事象とは、

 

さいころの目が2,4,6の3通りです。

 

そのうち条件を満たすのは、出た目が4の1通りなので、

 

求める答えは1/3です。

 

今までの問題と何が違うかわかりましたか?

 

全体の事象が今までとは少し違います。

 

さいころを一回振る時の全体の事象といえば、今までは

 

出た目が1,2,3,4,5,6の6通りでしたが、

 

この問題では、出た目が偶数だとわかっているので、

 

出た目が2,4,6の3通りになっているのです。

 

これが条件付き確率というものです。

 

事象Aが起こったことが分かったうえで事象Bが起こった確率

 

に当てはめると、

 

事象A=出た目が偶数

 

事象B=出た目が4

 

ということです。

 

つまり、先ほどの問題でもわかるように、

 

全体の事象に条件が付くっていうことです。

 

なんとなくわかりましたか?

 

それではいくつか問題を解いてみましょう。

 

さいころを2回振って、出た目の和が7だったという。この時、一回目に3が出た確率を求めよ

 

条件付き確率を求めるには、まず事象Aを満たすのがどれだけあるかを考えます。

これが、今までの全体の事象(分母)になります。

 

出た目の和が9になるためには、さいころの目が、

 

(1回目,2回目)=(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)

 

の4通りです。

 

このうち、1回目に3が出たのは(3、6)の1通りです。

 

よって答えは、1/4となります。

 

今までで言う条件を満たす事象は、事象Aの中から探さなければいけません。

 

たとえばこの問題でいうと、さいころを二回振って一回目に3が出るのは

 

6通りあるのですが、

 

今考えるのは出た目の和が9になるときなので、(3,6)以外は無視する、ということです。

 

今までで言う全体の事象が、事象Aになったことを理解できれば当たり前のことですね。

 

 

 

あたり2本、はずれ3本のくじを戻さずに2回引いた。2回目にあたりが出た時、1回目も当たっていた確率を求めよ

 

まずは、2回目にあたる事象を求めます。

 

2回目に当たる事象は、

 

1回目にあたりが出て2回目にもあたりが出た、という事象と、

 

1回目にはずれが出て2回目にあたりが出た、という事象に分けられます。

 

 

1回目にあたりが出て2回目にもあたりが出た、という事象は、2通りあります。

 

1回目にはずれが出て2回目にあたりが出た、という事象は、6通りあります。

 

よって2回目にあたりが出たという事象は8通りあります。

(この計算がわからなければ樹形図を描いたりしてみてください。)

 

そのうち、一回目もあたりが出ていたのは2通りですので、

 

答えは1/4となります。

 

 

 

 

なお、本来条件付き確率とは、

 

「事象Aと事象Bを満たす確率」を、「事象Aを満たす確率」で割る

 

という計算をしますが、割るほうも割られるほうも分母は「全体の事象」で同じですから、

 

分子だけの「それぞれを満たす事象」の数で計算して大丈夫です。

 

気になる人は、それぞれの確率を求めて割り算をするときに、

 

分数を簡単にしていけば同じ式が出ることが確認できると思います。